Quando la natura gioca con la matematica: i frattali

Quante volte da piccoli avete osservato le nuvole, magari cercando di fare somigliare la loro forma a qualcosa? Quante volte avete scrutato le forme dei rami scorgendole nella folta rete dei boschi ai quali fanno da tetto naturale? Quante volte atterrando in aereo avete coraggiosamente guardato giù e visto la sagome delle coste frastagliate dove vi stavate dirigendo in vacanza?

Ecco, forse non lo sapevate, ma in tutte quelle occasioni stavate guardando dei frattali.

Sì, perché la natura adora i frattali a differenza della matematica tradizionale che fino a non molti anni fa non riusciva a decifrare la loro essenza e soprattutto forse non la prendeva nemmeno troppo in considerazione. In natura le figure regolari sono delle pure eccezioni: dove in natura si trova un cubo, o una sfera perfetta? La natura si è sempre divertita a giocare con l’uomo in tantissimi modi, tra questi vi sono i frattali appunto.

Dare una definizione soddisfacente di questi stranissimi enti matematici non è affatto facile: non ci è riuscito nemmeno il loro scopritore! In prima approssimazione possiamo affermare che una curva si dice frattale se ha la proprietà dell’autosimilitudine: ingrandendo un qualsiasi tratto di curva si visualizza cioè un insieme di particolari altrettanto ricco e complesso del precedente; questo procedimento di “zoom” può inoltre proseguire all’infinito. In molti casi un frattale ha una semplice definizione ricorsiva e un aspetto “naturale”, ispirato cioè ad organismi presenti in natura.

Questo per parlare in “matematichese”, ma essendo io un’insegnante di scuola primaria amo la seguente semplicissima definizione: “I frattali si riscontrano nella natura quando la sua struttura è basata sulla ripetizione di una certa forma in copie sempre più piccole annidate una dentro l’altra come nelle matrioske” .

Questa definizione la potete vedere in questo video:

Il padre della teoria dei frattali è considerato Benoit Mandelbrot, il quale le diede anche il nome che oggi conosciamo (dal latino fractus che significa rotto, spezzato).

Fu lui infatti che per primo formalizzò le proprietà di queste figure, prima di lui considerate degli oggetti eccezionali, “mostri matematici”. Diversi frattali classici erano stati descritti da celebri matematici del passato, come Cantor, Peano, Hilbert, Von Koch (che vedremo tra poco), Sierpinski, ma fu solo con The fractal geometry of nature che essi trovarono posto in una teoria unificata, che ne sottolineava i legami con forme tipiche della natura (alberi, foglie, coste, etc.).

Un frattale è, quindi, una figura in un cui un singolo motivo viene ripetuto su scale descrescenti; ingrandendo una parte della figura, possiamo individuarvi una copia in scala della figura stessa, come si può vedere osservando la curva di Von Koch:

Quello sotto è il famoso fiocco di neve di von Koch (matematico svedese vissuto a cavallo tra ’800 e ’900): si prende un segmento lo si taglia in 3 parti e si sostituisce quella centrale con due segmentini uguali a quello eliminato; ora si ripete l’operazione con ciascuno dei quattro segmenti così ottenuti e si continua a ripeterla per un numero infinito di volte. La curva che si ottiene dopo un numero infinito di iterazioni è una curva frattale e come tutte le curve frattali è dotata di affascinanti proprietà matematiche, facili da intuire ma, spesso, difficili da dimostrare.

Che meraviglia i frattali! Essi – come potrete immaginare – servono a calcolare, a descrivere la natura ed i fenomeni: in poche parole a descrivere e simulare la natura. La geometria frattale espande la potenza della geometria classica inventata da Euclide!

Ora vediamo nel concreto solo alcune delle tantissime occasioni in cui guardandovi intorno state osservando un frattale: